Kompleksna analiza

[nori_norec]

Živijo,naletel sem na težavo pri nalogi iz kompleksne analize pri predmetu Analiza III. Prosil bi za pomoč, izracun, idejo ali karkoli kako bi rešil to nalogo:

Ali obstaja cela funkcija f, ki zadosca pogoju:
1. f(|z|) = z^2 za vsak z iz C?
2. f(z^2) = |z| za vsak z iz C?

zahvaljujem se za karkšnokoli pomoč

[Aniviller]

Če prav razumem, in govorimo o celih funkcijah v kompleksnem smislu - neskončnokrat odvedljive funkcije brez polov v komplksni ravnini, potem sta vprašanji absurdni in imata trivialno negativen odgovor. Prva sploh ni funkcija, saj lahko vzameš več različnih kompleksnih z, z isto absolutno vrednostjo, a različno desno stranjo. Ni enolična. Recimo tipičen primer:
f(|1|)=f(1)=1
f(|i|)=f(1)=-1
Pri drugi pa je obratno, slikaš iz cele kompleksne ravnine na pozitivno realno os - ne zadošča niti Cauchyjevim enačbam.

Načeloma so cele funkcije analitične funkcije, in se jih mora dat razvit po Taylorju (neskončnokrat odvedljive povsod). Absolutna vrednost temu ne zadošča.

[nori_norec]

No potem pa dobimo takole nalogo v kolokviju hehe, ni čudno da 90% ljudi gleda postrani

No imam še eno nalogo in sicer je vezana na residuume pri polih višjih redov ... recimo da sem 1. reda še nekako razumel in mi je postopek bil jasen (izracunas limito kjer se znebis člena iz katerega si dobil pol itd .. )

Sedaj pa je snov višjih redov pa sem se zataknil ... krepko
Naloga se glasi: Izračunaj residuum v 1 za f(z) = cos(z)/(z-sin(z)) ter določi še celotni glavni del.

Ideja, pomoč? Hvala že vnaprej

[Aniviller]

Residuum najlažje dobiš kar tako, da kar razviješ stvar okrog točke, kjer računaš residuum, in izluščiš 1/z člen. V kateri točki iščeš? Ker pri z=1 ni pola in je res=0.

[blblblblbl]

Mi lahko kdo prosim pomaga rešiti naslednjo nalogo:

Določi f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,z), če je u(x,y)=xy. in
Določi f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,z), če je u(x,y)=ex(cosy+siny).

Se mi niti ne sanja kje začet :/

Hvala

[Aniviller]

Iščeš analitično funkcijo kompleksnega argumenta, in za te funkcije veljajo Cauchyjeve enačbe.
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2% ... _equations
Če imaš realni del, lahko rekonstruiraš imaginarnega. Recimo za prvi primer imaš
\(\frac{\partial v}{\partial y}=y\)
\(\frac{\partial v}{\partial x}=-x\)
Integracija po eni spremenljivki lahko pusti v integracijski konstanti tudi odvisnost od druge spremenljivke, tako da prva da
\(v=\frac{y^2}{2}+C(x)\)
in druga
\(v=-\frac{x^2}{2}+D(y)\)
in to oboje skupaj ti pove
\(v=\frac{y^2-x^2}{2}\)
v izgleda kot realni del kvadrata kompleksnega števila, u pa kot imaginarni.... če je z=x+iy, potem je Re(z^2)=x^2-y^2 in Im(z^2)=2xy. Ampak "v" je imaginarni del, tako da je treba še en "i" zraven vtaknit. Malo po intuiciji in s poskušanjem najdeš
\(f(z)=\frac{-iz^2}{2}\)

[blblblblbl]

Najlepša hvala za odgovor.
Vendar mi še vedno nekaj ni jasno.
Prva stvar: Kako je lahko v(x,z), če je odvisen od x in y.
In kako je lahko v realni del, u pa imaginarni. (Tudi jaz sem tako dobila), vendar mi je čudno, saj je v navodilu v kot imaginarni. A je to vseeno?
Pa še nekaj.. Jaz bi f(z) izračunala po formuli, torej u(x,y) + i*v(x,z) = xy + i*(y^2-x^2)/2 =...= -z(konjugiran)^2 /2.
Upam, da sem napisala dovolj razumljivo kaj me muči!

Aja pri drugem primeru pa neznam iz x in y zapisat z-ja, dobim namreč v = e*(siny-cosy)*(1+(x^2)/2)
Kakšna ideja? Al lahko kr z x in y pustim?

[Aniviller]

v(x,z) je po moje samo napaka v zapisu, to nima smisla glede na pomen naloge - saj vidiš, da pri u(x,y) je pa tako kot mora bit.

To kaj je imaginarno in kaj je realno sem ti pa pisal samo kako sem prišel do zapisa z z-jem. Začel sem z z^2, in videl, da je vrstni red napačen, in sem zato še z i množil, potem je bilo pa treba dodat še minus, da je bilo prav. Na koncu se mora izidet tako kot je mišljeno, samo korake razmisleka sem ti povedal.

Konjugacija pa ni prav. Konjugacija ni analitična funkcija in ne uboga Cauchyjevih enačb. Moraš kar lepo z z-jem skozi pridet. Če ni treba, da je funkcija analitična, potem imaginarni in realni del itak nimata nobenih pogojev za izpolnit.

Kar sem napisal, je kar ok:

-iz^2/2=-i(x^2-y^2+2ixy)/2=xy+i(y^2-x^2)/2

[blblblblbl]

Sem probala še enkrat in je res tako.
Najlepša hvala!!!

[Aniviller]

Ah drugi primer bo skoraj lažji. V kompleksnem eksponentne funkcije in trigonometrične funkcije spadajo skupaj. In vse skupaj bo kombinacija eksponentnih in trigonometričnih, tisti polinomi zadaj nimajo kaj iskat.

Pa še vsoto lahko ločeno obravnavaš.

\(u=e^x \cos y\)
\(\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}=e^x \cos y\)
\(\frac{\partial v}{\partial x}=e^x \sin y\)
Prva vodi do
\(v=e^x \sin y+C(x)\)
in C(x)=0, saj sprednji člen že kar zadosti drugi diferencialni enačbi brez dodatka. Rešitev je torej
\(u+iv=e^x (\cos y+i\sin y)=e^x e^{iy}=e^{x+iy}=e^z\)

Za tistega s sinusom pa podobno dobiš:
\(v=-e^x \cos y\)
\(u+iv=e^x (\sin y -i\cos y)=-i e^x e^{iy}=-i e^z\)

[blblblblbl]

Ok hvala..

Imam še eno vprašanje glede kompleksne analize in sicer pri formuli za residuume polov višjih redov. (Sem hotla poslat priponko pa ne gre nevem zakaj..)
Formula je na http://www.fmf.uni-lj.si/~globevnik/skriptaII.pdf na strani 278.
Ni mi jasno kaj pomeni tisti d. A je to odvod al kaj? Ker mi nikakor ne pridejo pravi rezultati..

[Aniviller]

Tole
\(\frac{d^n}{dz^n}\)
je n-ti odvod po z, ki ga v tem primeru uporabiš na tistem izrazu.

[blblblblbl]

hvala:D

[blblblblbl]

Pozdravljeni!
Ponovno se mi je zataknilo pri kompleksni analizi, tokrat pri razvojih v Laurentove vrste.
Naloga je naslednja:
Razvij funkcijo f(z) = z/((z^2 − 4)(z^2 − 1)) v Laurentovo vrsto, ki konvergira na 1 < |z| < 2.

Funkcijo sem razstavila na parcialne ulomke. Zdaj pa nevem kako veš ali razviješ posamezne dele v Taylorjevo ali v Laurentovo. Vem, da je potrebno gledati konvergenčni radij ampak jaz ponavadi najprej razvijem in potem pogledam konvergenčni radij.

Upam da sem napisala dovolj razumljivo kaj mi ni jasno.
Hvala že vnaprej!

[blblblblbl]

In še to..

Zapišsi holomorfno preslikavo, ki predstavlja rotacijo za kot π/4 okoli točke z = 2i v
pozitivni smeri. Kam se preslika točka i?