Določi matriko A

[kolenca]

Bi mi prosim kdo znav razližit to nalogo. Kako se lotit.

V prostoru je podan skalarni produkt <p,q> =p (-1)q (-1) +p (0)q (0) +p (1)q (1) polinomov stopnje najvec 2.
Sebi adjungiran operator A:R2 ---> R2 ima lastno vrednost 1 in dvojno lastno vrednost 2.
Lastni podprostor za 2 je jedro funkcionala f: R2 -->R, f(p)=p (0) +p'(1).
Doloci matriko A v standardni bazi {1, x, x^2}

Najbol ne razmuem kaj pomeni tisto da je lastni pod prostor za 2 jedro funkcionala. A ni to vektor pri lastni vrednosti 2, ki je v prehodni matriki? Kako pa dobis se za 1. Nevem ce prav razumem to.
Hvala za pomoč.

[Zajc]

Bi mi prosim kdo znav razližit to nalogo. Kako se lotit.

V prostoru je podan skalarni produkt <p,q> =p (-1)q (-1) +p (0)q (0) +p (1)q (1) polinomov stopnje najvec 2.
Sebi adjungiran operator A:R2 ---> R2 ima lastno vrednost 1 in dvojno lastno vrednost 2.
Lastni podprostor za 2 je jedro funkcionala f: R2 -->R, f(p)=p (0) +p'(1).
Doloci matriko A v standardni bazi {1, x, x^2}

Najbol ne razmuem kaj pomeni tisto da je lastni pod prostor za 2 jedro funkcionala. A ni to vektor pri lastni vrednosti 2, ki je v prehodni matriki? Kako pa dobis se za 1. Nevem ce prav razumem to.
Hvala za pomoč.

Jedro funkcionala je pač nek dvodimenzionalen prostor, bazo tega prostora se brez problema poračuna. Če se vzame ortonormirano bazo, potem ta baza predstavlja dva (ortogonalna) lastna vektorja za lastno vrednost 2.

Tretji lastni vektor (za lastno vrednost 1) se dobi kot ortogonalni komplement prvih dveh, saj so lastni vektorji med seboj pravokotni.

[kolenca]

torej če sem prav poračunala sta jedro funkcionala polinoma x^2 - 2 in x-1. potem pa si izberem lhko še tretjega za lastno vrednost 1, kar 1.?
potem pa te tri polinome dam v skalarni produkt s q, ki je baza {1,x,x^2} in dopovnim matriko. a je to prav?
hvala.

[kolenca]

lako bi pa naredila tudi tako da jedro funkcionala napišem v preodno matriko, izračunam inverz in A s pomočjo enačbe A=PDP(-1). samo potem mi skalarni produkt ne pomaga pri tej nalogi.
zato morem vrjetno kot sem prej napisala s pomočjo te formule <Ap,q> = <p,A*q> p- je baza funkcionala, q pa sandardna baza.?

[Zajc]

Bistvena je ortogonalnost baze, ki je ti nimaš. Za vektor pri lastni vr. 1 moraš vzeti vektor, ki je pravokoten na oba vektorja iz jedra funkcionala. Komplicirati s formulo <Ap,q>=<p,A*q> po moje nima smisla, računaj kar po formuli A=PDP^{-1}, kjer je D=diag(2,2,1), P pa prehodna matrika z ortogonalnimi vektorji.

[kolenca]

aha, aha, hvala. iz jedra funkcionala sem tako dobila tista dva polinoma (da sem v f vstavila p(x)=ax^2 + bx +c in se potem dobila a(x^2-2)+b( x-1)) iz tega pa sem potem šla iskat še enega q(x)= ax^2 + bx +c, da bo skalarni produkt z njima enak 0(po tisti formuli). in sem dobila še tu en polinom. tako da te sedaj dam v prehodno matriko in zračunam inverz.
ne rabim pa normira?

[kolenca]

nekaj še.. kakšen ima pomen v navodiu sebi adjungirn operator A.. moram kje upoštevt ali samo na koncu ko dobim matriko A, da more bit njena transponiranka enaka.
hvala

[kolenca]

sedaj ko sem preverila še, sem ugotovila da si jedro funkcionala za lastno vrednost 2, (x^2-2, x-1) po enačbi skalarnega produkta ni pravokotno.
a je potrebno narediti se gramm scmidta?

[Zajc]

nekaj še.. kakšen ima pomen v navodiu sebi adjungirn operator A.. moram kje upoštevt ali samo na koncu ko dobim matriko A, da more bit njena transponiranka enaka.
hvala

Pomen ima, da je prehodna matrika ortogonalna (lastni vektorji so ortogonalni). Zaradi tega pride A simetrična matrika (sebi adjungirana).

Nisem siguren, če je treba normirati vektorje. Če jih normiraš, je sigurno prav, če jih pa ne, pa pač lahko izračunaš in preveriš, če dobiš isto matriko za A.

[kolenca]

nekaj še.. kakšen ima pomen v navodiu sebi adjungirn operator A.. moram kje upoštevt ali samo na koncu ko dobim matriko A, da more bit njena transponiranka enaka.
hvala

Pomen ima, da je prehodna matrika ortogonalna (lastni vektorji so ortogonalni). Zaradi tega pride A simetrična matrika (sebi adjungirana).

Nisem siguren, če je treba normirati vektorje. Če jih normiraš, je sigurno prav, če jih pa ne, pa pač lahko izračunaš in preveriš, če dobiš isto matriko za A.

hvala za odgovor, a mi potem lahko poveš postopek kako poračunam jedro funkcionala za lastno vrednost 2, ker očitno kar sem naredila ni prav, sam vektorja ki prideta ven nista pravokotna po tem skalarnem produktu. razen če je point da ju normiram.
hvala

[Zajc]

Lahko izvedeš Gramm-Schmidta, da dobiš ortogonalna vektorja. Če jih še normiraš, je gotovo prav, če ostaneta nenormirana, pa nisem prepričan.

[Zajc]

Lastni vektorji za lastno vrednost 2 v bistvu ni treba, da so pravokotni, važno je le, da je tretji vektor pravokoten na prva dva. Vektorji tudi niso nujno normirani. Če sem prav izračunal, je tretji vektor enak 4x^2+x-2, prva dva pa sta x-1 in x^2-2. Prehodna matrika je torej P=(-1,-2,-2;1,0,1;0,1,4), diagonalna matrika je D=diag(2,2,1), končen rezultat pa A=PDP^{-1}. Rezultat ni simetrična matrika, ker ni sebiadjungirana glede na standardni skalarni produkt.

[kolenca]

hvala za razlago!

[Vedež]

ha ha T2 je pobegnil z vajeti. Kje je Connor, da nas obvaruje? SKYNET nas bo uničil.

[shrink]

A že panično čakaš na Nibiru, da te reši pred "stroji", (ne)Ved(n)ež?