Kvarkadabra forum

Bi mi znal kdo dokazat po definiciji, da je lim(n--> ∞) ((n^a)/(b^n)) = 0
Hvala.

Bom pa jaz.

Naloga je malo čudna, ker se ne ve točno, kaj se sme predpostaviti kot znano. Predpostavil bom, da je znano, da je \(\lim_{n\to\infty}\frac{p(n)}{q(n)}=0\), če je stopnja polinoma \(p\) manjša od stopnje polinoma \(q\).

BŠS smemo predpostaviti, da je \(a\) naravno število. Predpostavljeno je tudi, da je \(b>1\). Dokazati je treba, da za vsak \(\varepsilon>0\) obstaja \(n_0\in\mathbb{N}\), da je \(n^a<\varepsilon b^n\).

Pišimo \(b=1+t\), kjer je \(t>0\). Potem za vsak \(n\ge a+1\) velja \(b^n=(1+t)^n=1+nt+{n\choose 2}t^2+\ldots+{n\choose a}t^a+{n\choose {a+1}}t^{a+1}+\ldots\ge {n\choose{a+1}}t^{a+1}=\frac{n(n-1)\ldots(n-a)}{(a+1)!}t^{a+1}=:q(n)\). Polinom \(q(n)\) je stopnje \(a+1\) v spremenljivki \(n\) in je zato večji od polinoma \(p(n):=\frac{1}{\varepsilon}n^a\) od nekje naprej. Torej velja \(b^n>\frac{1}{\varepsilon}n^a\) od nekje naprej. Q.E.D.