Dana je funkcija
f(x)=e^(-1/x) za x>0
in
f(x)=0; x<=0
potem je Taylorjeva vrsta funkcije f(x) okrog a=0 je enaka
a) f(x) za vse x element realnih števil
b) f(x) samo za x>0
c)0 samo za x<0. Za x>0 taylorjeva vrsta funkcije okrog a=0 ne konvergira
d) 0 za vse x element realnih števil
zanima me pravilni odgovor in zakaj?
Taylor
Re: Taylor
Odgovor d) je pravi.
Taylorjeva vrsta funkcije \(f\) okrog točke \(a\) je definirana kot potenčna vrsta \(\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\). Funkcija \(f\) mora biti seveda neskončnokrat odvedljiva v \(a\), da ima ta definicija smisel. V primeru iz naloge so vsi odvodi funkcije v točki \(a=0\) enaki nič, zato je njena Taylorjeva vrsta enaka nič.
Taylorjeva vrsta funkcije \(f\) okrog točke \(a\) je definirana kot potenčna vrsta \(\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\). Funkcija \(f\) mora biti seveda neskončnokrat odvedljiva v \(a\), da ima ta definicija smisel. V primeru iz naloge so vsi odvodi funkcije v točki \(a=0\) enaki nič, zato je njena Taylorjeva vrsta enaka nič.
Re: Taylor
Zakaj pa so enaki nič če pa so odvodi : e^(-1/x)*(-1)^n * x^-(nx)
Re: Taylor
V odvode moraš še vstaviti točko, okrog katere jo razvijaš. Ko vstaviš boš videl, da odvodi vedno dajo 0.