Recimo, da nekje preberem, da je zaporedje realnih stevil preslikava iz \(\mathbb{N}\) v \(\mathbb{R}\). Potem, ker ne vem kar iz zraka, kaj je to preslikava, polistam se malo in preberem: preslikava je predpis, ki vsakemu \(a \in A\) priredi natanko en \(f(a)\in B\). Pa recimo da je to jasno, vendar je tudi jasno, da se da v matematiki vse deducirati iz aksiomov. Tu se pa malo zatakne: kako bi npr. pojem preslikave in vse njene lastnosti lahko zvedli na tistih 13 aksiomov, ki karakterizirajo realna stevila?
Primer je bolj za to, da ne bo vse iz zraka pa da je bolj jasno kaj sploh hocem povedat (vprasat). Sicer pa, kaksen je v splosnem odnos med takimi definicijami (ali idejami kot npr. preslikave - pa se mnogo drugih) in aksiomi? Ce so aksiomi postavljeni samo zato da o njih ne dvomimo in iz njih izpeljujemo, kako potem izpeljemo taksne stvari? Ali se sploh da?
kaj so definicije, ideje, postopki,.? (v odnosu do aksiomov)
Re: kaj so definicije, ideje, postopki,.? (v odnosu do aksio
Sej ne vem, če mi je čist jasno kaj te muči..kren napisal/-a:Recimo, da nekje preberem, da je zaporedje realnih stevil preslikava iz \(\mathbb{N}\) v \(\mathbb{R}\). Potem, ker ne vem kar iz zraka, kaj je to preslikava, polistam se malo in preberem: preslikava je predpis, ki vsakemu \(a \in A\) priredi natanko en \(f(a)\in B\). Pa recimo da je to jasno, vendar je tudi jasno, da se da v matematiki vse deducirati iz aksiomov. Tu se pa malo zatakne: kako bi npr. pojem preslikave in vse njene lastnosti lahko zvedli na tistih 13 aksiomov, ki karakterizirajo realna stevila? Primer je bolj za to, da ne bo vse iz zraka pa da je bolj jasno kaj sploh hocem povedat (vprasat). Sicer pa, kaksen je v splosnem odnos med takimi definicijami (ali idejami kot npr. preslikave - pa se mnogo drugih) in aksiomi? Ce so aksiomi postavljeni samo zato da o njih ne dvomimo in iz njih izpeljujemo, kako potem izpeljemo taksne stvari? Ali se sploh da?
Kot prvo povsem zadošča 8 osnovnih aksiomov.
Zato bom skušal povedati po domače..
Smiselna matematična preslikava je logična relacija aksiomov.
Kje verjetno tiči tvoj problem?
1)Preslikava je v svoji osnovi funkcija!
2)Realna števila pa so definirana kot življenjska. Torej realna števila so po definiciji tista katera lahko srečamo v realnem življenju.
3)Kot vidiš imaš sedaj osnovno resnico ali aksiom, ki ni direktno vezan z abstraktno matematiko. Zakaj? V realnem (naravnem) življenju, realno (torej je realno = naravno) gledano ne moreš imeti nič jabolk, lahko pa rečeš, da nimaš jabolk. Prav tako ne moreš reči da imaš -1 jabolko, lahko pa rečeš, da ti manjka eno jabolko.
4)Ker v abstraktni matematiki poznamo aksiom a + b = b + a sledi.. Če ti realno manjka eno jabolko rečemo, da je rezultat tvojega abstraktnega računanja oziroma preslikave, -1 jabolko.
Upam, da sem ti kaj pomagal..
Lahko noć..
4 za sestevanje, 4 za mnozenje, enota za mnozenje ni enaka enoti za sestevanje, distributivnost operacij, natanko eno od stevil a in -a je pozitivno, produkt (vsota) pozitivnih je spet pozitivno stevilo in se Dedekindov aksiom. Katerih pet bi ti crtal?Kot prvo povsem zadošča 8 osnovnih aksiomov.
Funkcije recemo realnim preslikavam.Preslikava je v svoji osnovi funkcija!
Realna stevila so definirana z aksiomi.2)Realna števila pa so definirana kot življenjska. Torej realna števila so po definiciji tista katera lahko srečamo v realnem življenju.
Sem odprl temo le za abstraktno matematiko.3)Kot vidiš imaš sedaj osnovno resnico ali aksiom, ki ni direktno vezan z abstraktno matematiko.
No lepo, zanima me kako se formalno to zvede na omenjene aksiome.Smiselna matematična preslikava je logična relacija aksiomov.
Zadošča prvih osem aksiomov!kren napisal/-a:4 za sestevanje, 4 za mnozenje, enota za mnozenje ni enaka enoti za sestevanje, distributivnost operacij, natanko eno od stevil a in -a je pozitivno, produkt (vsota) pozitivnih je spet pozitivno stevilo in se Dedekindov aksiom. Katerih pet bi ti crtal?Kot prvo povsem zadošča 8 osnovnih aksiomov.
Mislil sem na osnovne matematične aksiome kot so ..
A1)Komutativnosti seštevanja oziroma a + b = b + a.
A2)Asociativnost seštevanja oziroma (a + b) + c = a + (b + c)
A3)Nič je nevtralni element za seštevanje oziroma a + 0 = a
A4) -a je nasprotni element elementa +a oziroma a+(-a) = 0
A5)Komutativnosti množenja oziroma a * b = b * a.
A6)Asociativnost množenja oziroma (a * b) * c = a (b * c)
A7)Distributivnost oziroma (a + b) * c = (a * c) + (b * c)
A8 ) 1 je nevtralni element za množenje oziroma a * 1 = a
Naslednji štirje aksiomi govorijo o urejenosti celih števil.
Seveda, ampak jih moraš razumeti.kren napisal/-a:Realna stevila so definirana z aksiomi.2)Realna števila pa so definirana kot življenjska. Torej realna števila so po definiciji tista katera lahko srečamo v realnem življenju.
Nisi me razumel..kren napisal/-a:Sem odprl temo le za abstraktno matematiko.3)Kot vidiš imaš sedaj osnovno resnico ali aksiom, ki ni direktno vezan z abstraktno matematiko.
Razmišljanje je abstraktno, čutenje pa realno. To moraš ločiti, namreč to je vzrok, da v matematiki obstajajo realna in naravna števila.
Ne more, ker je smisel določen z aksiomi.kren napisal/-a:No lepo, zanima me kako se formalno to zvede na omenjene aksiome.Smiselna matematična preslikava je logična relacija aksiomov.
Lep dan želim..
GJ: glede na teh osem, ki si jih napisal mnozenje nima inverza. Pa ker ni zahteve, da je vsota in produkt pozitivnih stevil spet pozitivno, jih ne moremo urediti po velikosti. Pa ker ni Dedekindovega aksioma (ki zahteva, da ima vsaka neprazna navzgor omejena mnozica natancno zgornjo mejo) se tudi cel kup reci ne da naresti.
Kako to mislis, da je aksiome treba razumeti? Pa recimo na primeru a + b = b + a. Kaj je tu za razumeti, ce zahtevamo, da to velja za poljubni realni stevili?
Ne razumem, smisel cesa? Kako sploh lahko aksiomi dolocajo kaksen smisel?Ne more, ker je smisel določen z aksiomi.
Kako je to lahko vzrok za naravna in realna stevila? To je samo oznaka za mnozice.Razmišljanje je abstraktno, čutenje pa realno. To moraš ločiti, namreč to je vzrok, da v matematiki obstajajo realna in naravna števila.
Kako to mislis, da je aksiome treba razumeti? Pa recimo na primeru a + b = b + a. Kaj je tu za razumeti, ce zahtevamo, da to velja za poljubni realni stevili?
Saj ga ne potrebuje, ker izhaja glede na aksiom A4 in ostalih aksiomov.kren napisal/-a:GJ: glede na teh osem, ki si jih napisal mnozenje nima inverza.
V tem primeru potrebuješ (normalno precej redko) še ostale štiri aksiome.kren napisal/-a:Pa ker ni zahteve, da je vsota in produkt pozitivnih stevil spet pozitivno, jih ne moremo urediti po velikosti. Pa ker ni Dedekindovega aksioma (ki zahteva, da ima vsaka neprazna navzgor omejena mnozica natancno zgornjo mejo) se tudi cel kup reci ne da naresti.
Sej sem, sicer res zgolj omenil, da urejenost celih števil določajo naslednji štirje aksiomi:
A9) Med dvema številoma a in b velja natanko ena izmed realcij oziroma a = b; a > b; a < b
A10)Tranzitivnost relacije oziroma (a < b) ^ (b < c) >> a < c
A11)Ohranjanje tranzitivnosti relacije pri seštevanju oziroma a < b >> a + c < b +c
A12)Ohranjanje tranzitivnosti relacije pri množenju oziroma a < b >> a * c < b * c
Aksiomi določajo pravila in posledično smisel.kren napisal/-a:Ne razumem, smisel cesa? Kako sploh lahko aksiomi dolocajo kaksen smisel?Ne more, ker je smisel določen z aksiomi.
Lep primer so igre. Igra brez pravil nima smisla, torej? Ko določimo pravila igre ta dobi svoj smisel. Vsaka igra je določena s pravili oziroma aksiomi, ki se jih da abstraktno matematično popisati.
Lahko bi rekli, da je matematika neke vrste abstraktna igra, ki jo določajo aksiomi.
Seveda, če se zavedamo njihovega abstraktnega pomena. Naravna števila zastopajo materijo oziroma količino nečesa. Število nič in pa negativna števila ne moremo preslikati v realnost. Lahko pa jih abstraktno zapišemo.kren napisal/-a:Kako je to lahko vzrok za naravna in realna stevila? To je samo oznaka za mnozice.Razmišljanje je abstraktno, čutenje pa realno. To moraš ločiti, namreč to je vzrok, da v matematiki obstajajo realna in naravna števila.
kren napisal/-a:Kako to mislis, da je aksiome treba razumeti? Pa recimo na primeru a + b = b + a. Kaj je tu za razumeti, ce zahtevamo, da to velja za poljubni realni stevili?
No, razumeti na tem mestu pomeni imeti sposobnost njihovega nadaljnega povezovanja z ostalimi aksiomi.
Lep dan želim..
Hja, seveda. Vendar so pravila tista v katerih igralec najde smisel ali pa tudi ne.Roman napisal/-a:Pravila definirajo igro, ne njenega smisla.
Roman napisal/-a:Smisel igre določajo igralci, pač glede na svoje cilje. Igra sama zase nima nikakršnega smisla.
Tako je. Igra sama zase ne obstaja.
Lep dan želim..
GJ s temi 12 aksiomi ne vemo niti ali je vsota pozitivnh stevil res pozitivna. Pa pri mnozenju se tranzitivnost neenakosti ne ohranja vedno, kar zmnozi poljubno neenakost z -1. Pa ne vidim, kako iz A4) in se nekaterih (katerih le?) sledi, da eksistirajo inverzni elementi za mnozenje?
Ce pojem pol jabolka, koliko mi ga se ostane v rokah? Sploh pa je kakrsnokoli slikanje ze kar abstrahiranje.Seveda, če se zavedamo njihovega abstraktnega pomena. Naravna števila zastopajo materijo oziroma količino nečesa. Število nič in pa negativna števila ne moremo preslikati v realnost. Lahko pa jih abstraktno zapišemo.
Se strinjam, pa da se ne bi prevec oddaljili od teme, kako bi recimo pojem preslikave (ali funkcije - kar ni nic drugega kot preslikava iz \(\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\)) izpeljali iz aksiomov?No, razumeti na tem mestu pomeni imeti sposobnost njihovega nadaljnega povezovanja z ostalimi aksiomi.
Realna števila so definirana tako, da ima vsako realno število tudi svoje inverzno število. Med drugim je tako definicija množice realnih števil in sem upal, da ti je to znano.kren napisal/-a:GJ s temi 12 aksiomi ne vemo niti ali je vsota pozitivnh stevil res pozitivna. Pa pri mnozenju se tranzitivnost neenakosti ne ohranja vedno, kar zmnozi poljubno neenakost z -1. Pa ne vidim, kako iz A4) in se nekaterih (katerih le?) sledi, da eksistirajo inverzni elementi za mnozenje?
Kren mešaš življenske pojme z abstraktnim..kren napisal/-a:Ce pojem pol jabolka, koliko mi ga se ostane v rokah? Sploh pa je kakrsnokoli slikanje ze kar abstrahiranje.Seveda, če se zavedamo njihovega abstraktnega pomena. Naravna števila zastopajo materijo oziroma količino nečesa. Število nič in pa negativna števila ne moremo preslikati v realnost. Lahko pa jih abstraktno zapišemo.
Govoriva vendar o realnih številih..
Gelj, če hočeš biti natančen..
Če imaš v roki eno jabolko in ga pol poješ, imaš potem v roki nič jabolk plus eno polovico jabolka.
kren napisal/-a:Se strinjam, pa da se ne bi prevec oddaljili od teme, kako bi recimo pojem preslikave (ali funkcije - kar ni nic drugega kot preslikava iz \(\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\)) izpeljali iz aksiomov?No, razumeti na tem mestu pomeni imeti sposobnost njihovega nadaljnega povezovanja z ostalimi aksiomi.
Zopet mešaš materialno z abstraktnih.
Funkcija in aksiomi nimajo veliko skupnega.
Funkcija je po definiciji logični stroj in za svoje delovanje potrebuje materialno utelešenje.
Lahko jo sicer popišemo čisto abstraktno. Vendar je to zgolj njen abstraktni zapis. Da funkcija deluje more biti implementirana v stroj (ali pa v možgane).
Funkcije so zato posledično vezane na dimenzijo časa, tukaj mislim na njihovo izvedbo oziroma preslikavo.
Lep dan želim..
Seveda je tako, dokler jo gledamo zgolj abstraktno.Roman napisal/-a:V matematiki ni prav nič materialnega. Je čista abstrakcija. In funkcija je v kontekstu te teme matematični objekt in nima s časom nikakršne zveze.GJ napisal/-a:Funkcija je po definiciji logični stroj in za svoje delovanje potrebuje materialno utelešenje.
Vendar njena implementacija in posledično njen izračun zahteva logični stroj oziroma utelešenje. Šele takrat lahko govorimo o igri.
Lep dan želim.
Saj si ti zacel z zivljenjskimi, kar poglej...:GJ napisal/-a:Kren mešaš življenske pojme z abstraktnim..
Govoriva vendar o realnih številih..
GJ napisal/-a:Seveda, če se zavedamo njihovega abstraktnega pomena. Naravna števila zastopajo materijo oziroma količino nečesa. Število nič in pa negativna števila ne moremo preslikati v realnost. Lahko pa jih abstraktno zapišemo.
Ja, ampak to iz tistih aksiomov ki si jih napisal sploh ne sledi (realna stevila so definirana z malo drugacnimi aksiomi).Realna števila so definirana tako, da ima vsako realno število tudi svoje inverzno število.
Mi je znano ja.. Tebi pa ocitno ne, ce pravis, da ce neenakost -2 < 2 pomnozimo z -1 (dvanajsti aksiom ki si ga napisal pravi, da za mnozenje pri relaciji < velja tranzitivnost), dobimo 2 < -2. To pa ne le, da je dalec od tega kot so v matematiki definirana realna stevila, celo v protislovju z devetim aksiomom, ki si ga napisal..Med drugim je tako definicija množice realnih števil in sem upal, da ti je to znano.
Potem mislis, da niso aksiomi vse potrebno, da se kaj izpelje v matematiki?Zopet mešaš materialno z abstraktnih.
Funkcija in aksiomi nimajo veliko skupnega.
Funkcija je po definiciji logični stroj in za svoje delovanje potrebuje materialno utelešenje.
Lahko jo sicer popišemo čisto abstraktno. Vendar je to zgolj njen abstraktni zapis.
Res je tisti štirje dodatni aksiomi A9, A10, A11 in A12 povsem držijo le za naravna števila.kren napisal/-a:Ja, ampak to iz tistih aksiomov ki si jih napisal sploh ne sledi (realna stevila so definirana z malo drugacnimi aksiomi).Realna števila so definirana tako, da ima vsako realno število tudi svoje inverzno število.
Hotel sem zgolj povedati, da glede na to s kakšnimi števili operiraš takšna pravila oziroma aksiomi veljajo.
Ups napača, moralo bi napisati naravnih števil..Med drugim je tako definicija množice realnih števil in sem upal, da ti je to znano.
Eee, potreben je še nekdo, ki to izpelje.kren napisal/-a:Potem misliš, da niso aksiomi vse potrebno, da se kaj izpelje v matematiki?
Mislim, (kar ne pomeni da tudi znam), da je vse možno popisati z nekimi osnovnimi resnicami.
Lep dan želim..