Živjo
Imam problem, ker ne vem, kako določiti stekališča zaporedja. Pri danem primeru (slika) sem poskusila na n vstaviti nekaj števil (n = 1, 2, 3,...) in se orientirati iz tega, vendar nisem uspela priti do nobene pametne ugotovitve...
Naloga sprašuje tudi, ali je zaporedje konvergentno ali pa omejeno. Kako pa je s tem?
Ob upoštevanju znanih zvez za fakultete: \((n+1)!=(n+1)n!\) in \((2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!\) zlahka ugotoviš, da neenakost velja za vsak naravni \(n\).
Za konvergenco moraš dokazati, da ima limito (jo pač izračunaš: zlahka ugotoviš, da je 0).
Dober dan
imam problem pri dokazovanju stekališč.
zaporedje rekurzivno podano a(n+1)=1 - an^2 in začetnim členom a0=1/2. Dokaži da ima 2 stekališči.
Pa še dodan nasvet, ki ga neznam uporabit. ( Zapiši rekurzivno zvezo, ki ji ustrezata podzaporedji lihih in sodih členov.)
jest sem napisal a(2n+1)=1- a(2n)^2
ter a(2n)=1-a(2n-1)^2
sedaj pa neznam teh dveh podzaporedij( če sta sploh pravilni) analizirat in pokazat,da imata vsaka svoje stekališče.
Intuitivno mi je jasno, da ima zaporedje 2 stekališči( mislim da 0 in 1) ampak nevem kako to dokazati.
lp
Rekurzivno zvezo za podzaporedji lihih in sodih členov dobiš, če izraziš \(a_{n+1}\) in \(a_{n-1}\) preko zaporedne rabe rekurzivne formule:
\(a_{n+1}=1-a_n^2=(1-a_n)(1+a_n)\)
\(a_{n}=1-a_{n-1}^2\)
Če zadnjo zvezo upoštevaš v prvi, dobiš:
\(a_{n+1}=a_{n-1}^2(2-a_{n-1}^2)\)
Če je \(n=2k\), gre za podzaporedje lihih členov, če je \(n=2k+1\) gre za podzaporedje sodih členov.
Stekališča poiščeš, če v gornjo rekurzivno zvezo vstaviš \(\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}a_{n-1}=s\). Dobiš enačbo četrte stopnje za \(s\): stekališča so tiste ničle, ki so v intervalu \([0,1]\), znotraj katerega je zaporedje omejeno.