Elementarna geometrija
Re: Elementarna geometrija
1. To je že skoraj definicija.
\(\tan\phi \tan(\frac{\pi}{2}+\phi)=-\tan\phi\tan(\frac{\pi}{2}-\phi)=-\tan\phi\cot\phi=-1\)
Lahko greš tudi s sklarnim produktom vektorjev. Smerni vektor premice v obliki y=kx+n lahko zapišeš kot (1,k) [nenormiran] iz standardnega pravokotnega trikotnika diferenčnega količnika, tako da imaš
(1,k)*(1,-1/k)=1-1=0
2. Ne vem kaj točno je mišljeno z "algebrskim" kriterijem... lahko enostavno odšteješ točki na premici, da dobiš smerna vektorja in s skalarnim produktom ugotoviš, da sta pravokotna.
3. Izgleda grozno, dokler ne ugotoviš, da gre za množenje kompleksnih števil (celo enotskih, kjer je c=cos, s=sin). Preslikava r_(c,s) je točno
\(z=x+iy\mapsto (c+is)(x+iy)=e^{i\phi}z\)
Zdaj je tvoj kompozitum adicijski izrek za kotne funkcije. Alternativno lahko zapišeš preslikavo s pomočjo matrike, ugotoviš, da gre za rotacijsko matriko (tvoj pogoj pove, da je determinanta enaka 1, ortogonalnost je očitna...), in spet vidiš seštevanje kotov pri kompoziciji [v formuli za kompozitum prepoznaš člene produkta dveh matrik].
4. Akhm... no skupaj daš prvi in drugi način
5. Zdeliš (4)
\(\tan\phi \tan(\frac{\pi}{2}+\phi)=-\tan\phi\tan(\frac{\pi}{2}-\phi)=-\tan\phi\cot\phi=-1\)
Lahko greš tudi s sklarnim produktom vektorjev. Smerni vektor premice v obliki y=kx+n lahko zapišeš kot (1,k) [nenormiran] iz standardnega pravokotnega trikotnika diferenčnega količnika, tako da imaš
(1,k)*(1,-1/k)=1-1=0
2. Ne vem kaj točno je mišljeno z "algebrskim" kriterijem... lahko enostavno odšteješ točki na premici, da dobiš smerna vektorja in s skalarnim produktom ugotoviš, da sta pravokotna.
3. Izgleda grozno, dokler ne ugotoviš, da gre za množenje kompleksnih števil (celo enotskih, kjer je c=cos, s=sin). Preslikava r_(c,s) je točno
\(z=x+iy\mapsto (c+is)(x+iy)=e^{i\phi}z\)
Zdaj je tvoj kompozitum adicijski izrek za kotne funkcije. Alternativno lahko zapišeš preslikavo s pomočjo matrike, ugotoviš, da gre za rotacijsko matriko (tvoj pogoj pove, da je determinanta enaka 1, ortogonalnost je očitna...), in spet vidiš seštevanje kotov pri kompoziciji [v formuli za kompozitum prepoznaš člene produkta dveh matrik].
4. Akhm... no skupaj daš prvi in drugi način
5. Zdeliš (4)
Re: Elementarna geometrija
Imam eno zanimivo vprašanje.
Imamo enakostranični trikotnik, s stranico \(a\). Zanima me, kako pokažemo, kakšen kvadrat in kako ga moramo včrtati, da bo maksimalen. Po občutku, bi ga postavili z eno njegovo stranico na eno stranico trikotnika (velikost takega kvadrata sem izračunala), ampak ali je to res največji, ki ga lahko včrtamo? Ali je kateri malo zasukan večji? Kako bi to dokazali? za lažjo predstavo sem dodala sliko.
Imamo enakostranični trikotnik, s stranico \(a\). Zanima me, kako pokažemo, kakšen kvadrat in kako ga moramo včrtati, da bo maksimalen. Po občutku, bi ga postavili z eno njegovo stranico na eno stranico trikotnika (velikost takega kvadrata sem izračunala), ampak ali je to res največji, ki ga lahko včrtamo? Ali je kateri malo zasukan večji? Kako bi to dokazali? za lažjo predstavo sem dodala sliko.
- Priponke
-
- kvadrat2.png (5.72 KiB) Pogledano 8800 krat
Re: Elementarna geometrija
Če poskrbiš, da see dve stranici ujemata, potem po še tako malem zasuku okrog težišča, vsaj ena točka zagotovo pade iz območja - torej moraš skrajšati stranico. In takoj ko ga zavrtiš za 45°si nazaj na začetku. Nimam matematičnega dokaza, ampak mislim da je to največji. Tut vse strani, katere sem na hitro preletel vzamejo tega za maksimalnega. http://mathcountsnotes.blogspot.co.at/2 ... n-any.htmldelta napisal/-a:Imam eno zanimivo vprašanje.
Imamo enakostranični trikotnik, s stranico \(a\). Zanima me, kako pokažemo, kakšen kvadrat in kako ga moramo včrtati, da bo maksimalen. Po občutku, bi ga postavili z eno njegovo stranico na eno stranico trikotnika (velikost takega kvadrata sem izračunala), ampak ali je to res največji, ki ga lahko včrtamo? Ali je kateri malo zasukan večji? Kako bi to dokazali? za lažjo predstavo sem dodala sliko.
Dokaz zakaj prav ta? Ma v dokazih nisem bil nikoli dober.
Re: Elementarna geometrija
Ne vem, če obstaja kak eleganten dokaz. Verjetno je treba obravnavati vse možnosti (če sta dve nasprotni oglišči kvadrata na stranicah trikotnika, pa če sta dve sosednji oglišči kvadrata na različnih stranicah trikotnika itd.). Problem je precej nesimetričen, dokaz je lahko precej dolg, ker je treba obravnavati kopico takšnih primerov.delta napisal/-a:Imam eno zanimivo vprašanje.
Imamo enakostranični trikotnik, s stranico \(a\). Zanima me, kako pokažemo, kakšen kvadrat in kako ga moramo včrtati, da bo maksimalen. Po občutku, bi ga postavili z eno njegovo stranico na eno stranico trikotnika (velikost takega kvadrata sem izračunala), ampak ali je to res največji, ki ga lahko včrtamo? Ali je kateri malo zasukan večji? Kako bi to dokazali? za lažjo predstavo sem dodala sliko.
Numerično se problem lahko reši tako, da se ga prevede na iskanje ekstrema funkcije. Na primer, označimo oglišči kvadrata \(A(x_1,y_1)\) in \(B(x_2,y_2)\). Izračunamo še koordinate drugih dveh oglišč \(C(x_2+y_1-y_2,x_2-x_1+y_2)\) in \(D(x_1+y_1-y_2,x_2-x_1+y_1)\). Pogoj je, da so vsa štiri oglišča na ustreznih straneh treh premic, ki določajo trikotnik (ta pogoj je linearen). Maksimiziramo pa funkcijo \((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\) (ki žal ni linearna). V Mathematici izgleda nekako takole:
Koda: Izberi vse
a = 1;
NMaximize[{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2,
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, x2 - x1 + y2 ≥ 0, x2 - x1 + y1 ≥ 0,
y1 ≤ Sqrt[3]x1, y2 ≤ Sqrt[3]x2, x2 - x1 + y1 ≤ Sqrt[3](x1 + y1 - y2), x2 - x1 + y2 ≤ Sqrt[3](x2 + y1 - y2),
x1/a + y1/a/Sqrt[3] ≤ 1, x2/a + y2/a/Sqrt[3] ≤ 1, (x2 + y1 - y2)/a + (x2 - x1 + y2)/a/Sqrt[3] ≤ 1, (x1 + y1 - y2)/a + (x2 - x1 + y1)/a/Sqrt[3] ≤ 1},
{x1, y1, x2, y2}]
Če hočemo točno rešitev, je treba najprej upoštevati, da pri rešitvi vsaj 3 oglišča kvadrata ležijo na stranicah trikotnika. Če npr. zahtevamo, da \(A\) leži na 1. stranici, \(C\) leži na 2. stranici in \(B\) leži na 3. stranici, dobimo sistem, ki se ga da rešiti natančno:
Koda: Izberi vse
a = 1;
Maximize[{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2,
y1 == 0, y2 ≥ 0, x2 - x1 + y2 ≥ 0, x2 - x1 + y1 ≥ 0,
y1 ≤ Sqrt[3]x1, y2 ≤ Sqrt[3]x2, x2 - x1 + y1 == Sqrt[3](x1 + y1 - y2), x2 - x1 + y2 ≤ Sqrt[3](x2 + y1 - y2),
x1/a + y1/a/Sqrt[3] ≤ 1, x2/a + y2/a/Sqrt[3] == 1, (x2 + y1 - y2)/a + (x2 - x1 + y2)/a/Sqrt[3] ≤ 1, (x1 + y1 - y2)/a + (x2 - x1 + y1)/a/Sqrt[3] ≤ 1},
{x1, y1, x2, y2}]
-
- Prispevkov: 5
- Pridružen: 13.1.2013 14:18
Re: Elementarna geometrija
živijo
imam problem in sicer rad bi izdelal program v excelu, ki bi mi izračunal lokacijo dveh točk (x,y) ki jih kažejo rdeče puščice na sliki
seveda bi potreboval tudi postopek izračuna ker naj bi spreminjal parametre. slika je v proponki
imam problem in sicer rad bi izdelal program v excelu, ki bi mi izračunal lokacijo dveh točk (x,y) ki jih kažejo rdeče puščice na sliki
seveda bi potreboval tudi postopek izračuna ker naj bi spreminjal parametre. slika je v proponki
-
- Prispevkov: 29
- Pridružen: 4.1.2014 12:36
Re: Elementarna geometrija
Sem se malo poigral s to nalogo, pa se mi ne izidejo enačbe ...
Možno, da sem jaz kaj spregledal, ker nisem najbolj natančen ponavadi .
Možno, da sem jaz kaj spregledal, ker nisem najbolj natančen ponavadi .
Re: Elementarna geometrija
Grafično se niti ne zdi težko rešit, res pa je da excela res ne obvladam in ne vem kake funkcije vse imaš notri.
Ampak če vzameš spodnjo točko na rdeči črti s svoje skice in si jo izbereš za izhodišče kroga s polmerom 30 boš dobil dve presečišči z zgornjo krožnico. Izbereš pravo presečišče (ki je že tvoja prva točka) in izhodišče - točki povežeš in dobiš eno premico. Spet se vrneš v izhodišče in narišeš krog z radijem 50. Presečišče tega kroga in prej dobljene premice je tvoja druga premica.
V mathematici bi se verjetno upal s tem poigrat, medtem ko ne vem točno kaj vse ti excel dopušča.
Ampak če vzameš spodnjo točko na rdeči črti s svoje skice in si jo izbereš za izhodišče kroga s polmerom 30 boš dobil dve presečišči z zgornjo krožnico. Izbereš pravo presečišče (ki je že tvoja prva točka) in izhodišče - točki povežeš in dobiš eno premico. Spet se vrneš v izhodišče in narišeš krog z radijem 50. Presečišče tega kroga in prej dobljene premice je tvoja druga premica.
V mathematici bi se verjetno upal s tem poigrat, medtem ko ne vem točno kaj vse ti excel dopušča.
Re: Elementarna geometrija
Premakni vejico za eno mesto v desno in imaš koordinate tistih dveh točk.
Za postopek in Excel je pa strokovnjak šef tega foruma - Tošo Asinus Šrink.
Njega prosi, pa ti bo napisal.
Re: Elementarna geometrija
No, vsaj po grafiki sodeč se mi zdi da je tole smolejleo reševal v Geogebri.
Kakorkoli že, moji izračuni v mathematici so bistveno drugačni. In sicer spodnja točka pri \(T_1=(x -> -2.21355, y -> 29.9182)\) in zgornja točka \(T_2=(x -> -3.68925, y -> 49.8637)\) z izhodiščem kot je prikazano na sliki in kot sem ga že opisal v zgornjem postu. Tebe bi verjetno zanimale koordinate v tvojem prvotnem izhodišču, kar ni glih velik problem. V tem primeru samo vsaki \(x\) koordinati odštej \(\frac {35}{2}\cos \frac \pi 3\) in vsaki \(y\) koordinati odštej \(\frac {35}{2}\sin \frac \pi 3\).
Za konkreten primer izhodišča v modri piki na moji skici to pomeni \(T_1=(x -> -10.96355, y -> 14.76275543378)\) in zgornja točka \(T_2=(x -> -12.43925, y ->34.70825543378)\)
Kakorkoli že, moji izračuni v mathematici so bistveno drugačni. In sicer spodnja točka pri \(T_1=(x -> -2.21355, y -> 29.9182)\) in zgornja točka \(T_2=(x -> -3.68925, y -> 49.8637)\) z izhodiščem kot je prikazano na sliki in kot sem ga že opisal v zgornjem postu. Tebe bi verjetno zanimale koordinate v tvojem prvotnem izhodišču, kar ni glih velik problem. V tem primeru samo vsaki \(x\) koordinati odštej \(\frac {35}{2}\cos \frac \pi 3\) in vsaki \(y\) koordinati odštej \(\frac {35}{2}\sin \frac \pi 3\).
Za konkreten primer izhodišča v modri piki na moji skici to pomeni \(T_1=(x -> -10.96355, y -> 14.76275543378)\) in zgornja točka \(T_2=(x -> -12.43925, y ->34.70825543378)\)
Re: Elementarna geometrija
Za primerjavo, meni Excel izračuna tole:
Spodnja točka -8,75; -15,16
Srednja točka -11,12; 14,94
Zgornja točka -12,71; 35,00
Excel sicer ni najbolj pripraven za to, a je kljub temu enostavno. Napišeš enačbo kroga in enačbo razdalje ter daš Solverju nastaviti x na tako vrednost, da je izračunana razdalja enaka zahtevani.
Če rabiš graf, potem napišeš vrednost za x in enačbo za y v dve sosednji celici in ju rapotegneš navzdol ter vstaviš graf, pa je. V isti graf lahko dodaš funkcije za oba kroga (posebej za zgornji del in spodnji del) ter za premico.
Spodnja točka -8,75; -15,16
Srednja točka -11,12; 14,94
Zgornja točka -12,71; 35,00
Excel sicer ni najbolj pripraven za to, a je kljub temu enostavno. Napišeš enačbo kroga in enačbo razdalje ter daš Solverju nastaviti x na tako vrednost, da je izračunana razdalja enaka zahtevani.
Če rabiš graf, potem napišeš vrednost za x in enačbo za y v dve sosednji celici in ju rapotegneš navzdol ter vstaviš graf, pa je. V isti graf lahko dodaš funkcije za oba kroga (posebej za zgornji del in spodnji del) ter za premico.
Re: Elementarna geometrija
... moji izračuni NISO bistveno drugačni. To sem hotu rečt. Pardon.skrat napisal/-a:No, vsaj po grafiki sodeč se mi zdi da je tole smolejleo reševal v Geogebri.
Kakorkoli že, moji izračuni v mathematici so bistveno drugačni.
Re: Elementarna geometrija
smolejleo napisal/-a:
Premakni vejico za eno mesto v desno in imaš koordinate tistih dveh točk.
skrat napisal/-a: Za konkreten primer izhodišča v modri piki na moji skici to pomeni T_1=(x -> -10.96355, y -> 14.76275543378) in zgornja točka T_2=(x -> -12.43925, y ->34.70825543378)
skrat napisal/-a: Kakorkoli že, moji izračuni v mathematici so bistveno drugačni.
skrat napisal/-a:
... moji izračuni NISO bistveno drugačni. To sem hotu rečt. Pardon.
Vidiš, sedaj pa lahko (težko) izbereš rezultat!derik napisal/-a:Za primerjavo, meni Excel izračuna tole:
Spodnja točka -8,75; -15,16
Srednja točka -11,12; 14,94
Zgornja točka -12,71; 35,00
Re: Elementarna geometrija
Hah, osmoljenileo, očitno se tvoji didaktični pripomočki ne obnesejo, pa ne zaradi tega, ker so slabi, ampak zato ker jih podučitelji ne znajo uporabljati. Tako kot Excela ne.
Re: Elementarna geometrija
Tošo Asinus Šrink, ti si že dokazal, da si expert za geometrijo. Po tebi je imenovana tudi funkcija - sinus_shrinkus in oboje je oslovsko in to ne kot osel, tako kot magarac.shrink napisal/-a:Hah, osmoljenileo, očitno se tvoji didaktični pripomočki ne obnesejo, pa ne zaradi tega, ker so slabi, ampak zato ker jih podučitelji ne znajo uporabljati. Tako kot Excela ne.
P s, že na blogu te pozivajo, da zaradi visokega nivoja tvojih pisarij razkrij identiteto - pa si omočil planičke.
Re: Elementarna geometrija
Sem preveril, od kod ta odstopanja med mojim in skratovim izračunom. Gre za mojo napako v enačbi, da ne bi kdo krivil Excela. Po korekciji dobim iste rezultate, kot jih navaja skrat, oz. kot jih dobim na WolframAlpha.derik napisal/-a:Za primerjavo, meni Excel izračuna tole:
Spodnja točka -8,75; -15,16
Srednja točka -11,12; 14,94
Zgornja točka -12,71; 35,00
Excel sicer ni najbolj pripraven za to, a je kljub temu enostavno. Napišeš enačbo kroga in enačbo razdalje ter daš Solverju nastaviti x na tako vrednost, da je izračunana razdalja enaka zahtevani.
Če rabiš graf, potem napišeš vrednost za x in enačbo za y v dve sosednji celici in ju rapotegneš navzdol ter vstaviš graf, pa je. V isti graf lahko dodaš funkcije za oba kroga (posebej za zgornji del in spodnji del) ter za premico.
Res pa je, da ima Excel zaradi uporabe binarne floating point aritmetike določene omejitve glede točnosti, vendar gre za daleč manjša odstopanja kot v tem primeru.
http://en.wikipedia.org/wiki/Numeric_pr ... soft_Excel