In zdaj obljubljeni 'seminar'!
Empirika v matematiki
Seminar pri prof. bargu
Cilj: dokazati vlogo in pomen empirike v matematiki
Metode: Deskriptivno-analitična, komparativna in dialektična
Teze:
1. Matematika se giblje od empirije preko nižje stopnje abstrakcije do visoke abstrakcije
2. Matematika postane larpurlartizem, če povsem izgubi stik z objektivno realnostjo
Metodološko je izredno važno spoznanje, da kljub očitnemu trendu matematizacije vseh vidikov stvarnosti, matematika nikoli ne bo mogla zajeti njene totalitete, kajti objektivna stvarnost je
per definitionem neizčrpna in je ne bo mogoče niti v principu dokončno spoznati.
S tem v zvezi se postavlja vprašanje 'preslikavanja' stvarnosti v matematične modele, ali, če obrnemo: kako se ta stvarnost odraža v matematičnem modelu? Gre za odnos idealnega/subjektivnega in realnega/objektivnega. Po moje je idealno le materialno, presajeno v človekove možgane in tam 'sprocesirano'.
Vsaka matematična abstrakcija, matematični model je (vsaj indirektno in v samem korenu) idealizirana praktična situacija iz objektivne stvarnosti (npr. točka, premica, ravnina, število, vektor, funkcija, enačba, verjetnost, infinitezimalni račun, itd.)
Točka (premica, ravnina, število, vektor,...) ni konkretna entiteta v stvarnosti. Preko abstrakcije lastnosti majhnih predmetov (majhna prostorska razsežnost zrnja, drobtinic mivke, točk na papirju, ipd.) se je po dolgotrajnem opazovanju formiral
pojem točke. Podobno je bilo pri premici, ko so ljudje opazovali zategnjene vrvice, ravne ozare na njivi, svetlobne žarke, in pri drugih geometrijskih likih. Točka, premica, krožnica so
realni objekti, od katerih smo odmislili (abstrahirali) vse fizične značilnosti in jih tako transformirali v
idealne objekte – geometrijske like. Preselili smo jih v svet Platonovih idealnih geometrijskih teles, ki v stvarnosti ne obstajajo, vendar pa aproksimativno odražajo njihove bistvene lastnosti (recimo krožnica kolo, krogla bučo ali frnikolo, ipd.)
Problemi rektifikacije, kvadrature in kubature so vodili k pojmu neskončnosti, pa tudi k potrditvi nekaterih dialektičnih zakonov. Naj ilustriram!
Ti problemi se reducirajo na koncu na nasprotja med pojmovnimi dvojicami: ravna črta-krivulja (protislovno je npr. meriti dolžino loka kroga z ustrezno tetivo z vrisovanjem poligona, saj ta ne more nikoli biti kongruentna), merjenje površine, omejene s krivuljo s površino prizmatičnega lika (npr. površino valja z vrisovanjem prizme vanj), saj del površine prvega nikoli ne more biti preslikan s površino drugega. Rešitev sta seveda našla Newton in Leibnitz z infinitezimalnim računom, ki vključuje abstraktni pojem neskončnosti (torej z vrisovanjem v krožnico poligona, število stranic katerega narašča v neskončnost, z vrisovanjem v valj prizme, katere število stranic narašča v neskončnost, ipd.). Ključna pri tej metodi je
ideja/abstrakcija potencialne izvedljivosti tega postopka.
Začetnik moderne znanosti G. Galilei se je te povezave dobro zavedal, ko je napisal: "
Filozofija (fizika) je napisana v tej ogromni knjigi, vesolju, ki je vedno odprta pred našimi očmi. Toda ne moremo je razumeti, če se poprej ne naučimo jezika in črk, v katerem je napisana. Napisana pa je v jeziku matematike in njene črke so trikotniki, krožnice in drugi geometrijski liki, brez katerih je človeku nemogoče razumeti eno samo besedo; brez teh lahko le tavamo v temnem labirintu." (Galileo Galilei, The Assayer, 1957, Discoveries and Opinions of Galileo str. 237-238).
Čeprav je pojem števila še bolj abstrakten od geometrijskih likov ima po moje tudi ta (vsaj indirektno) zvezo z odnosi med realnimi predmeti. Kvantitativno razmerje ene kokoši do petih kokoši (zajcev, ovac, mernikov pšenice, zvezd, ljudi, ipd.) do množice kvalitativno istovrstnih predmetov je dobilo svoj abstraktni izraz v razmerju enice in naravnega števila. Na splošno:
narava razmerij med stvarmi določa naravo razmerij med števili.
To je zadoščalo za te in podobne stvarne predmete in relacije. A praktične potrebe so silile ljudi, da za prostorsko-kvantitativna razmerja kot so gor-dol, levo-desno, nad-pod, ipd. 'izumijo' negativna števila. Merjenje konkretne dolžine, površine, prostornine, teže, ipd. je sugeriralo uporabo abstraktnega pojma ulomka, oz. racionalnih števil.
Ponavlja se zgodba odnosa geometrijskih likov proti stvarnosti.
Realni pojavi (sila, hitrost, pospešek, ipd.) so narekovale uvedbo pojma vektorja kot matematičnega modela. Podobne analogije bi lahko navedel za pojme funkcije, enačbe, verjetnosti, ipd.
Spor o tem, koliko matematični modeli odražajo stvarnost, je jalov, kajti
ne obstoji nekaj kar bi imenovali 'absolutno popoln model'. Razsodnik je lahko le
praxis: kolikor bolj se model približuje stvarnosti, toliko boljši in popolnejši je. Vemo, da obstoje razni in še vedno nepopolni matematični modeli za napovedovanje vremena, a se izboljšujejo in tako vedno verneje (Hi-Fi, bi rekli akustiki) odražajo praktično dogajanje v atmosferi. Za napovedovanje potresov pa še sploh nimamo zanesljivega matematičnega modela. (spomnite se žolčnih debat na tem forumu o tej temi!)
Veliki francoski matematik Henri Poincaré se je dobro zavedal te povezanosti abstraktnih modelov s stvarnostjo: "Čisti matematik, ki bi pozabil, da obstoji zunanji svet, bi bil kot slikar, ki zna harmonično komponirati barve in oblike, ki pa ne bi imel modelov (predlog). Njegova ustvarjalna moč bi kmalu presahnila." (Henri Poincare, The Value of Science)
Globoko zakoreninjeno mišljenje (predvsem čistih matematikov), da so matematični pojmi, aksiomi, modeli, teorije neke umetne in arbitrarne tvorbe apriornega duha in matematične intuicije in imaginacije in da nimajo ničesar s človeško
praxis, je po moje zmotno in izvira iz dejstva, da so se spoznali z njimi v najčistejši, končni formulaciji, pozabili pa so na njihovo genezo in zgodovinski razvoj. Pozabili so na Marxovo opazko o tem, da je »anatomija človeka ključ za anatomijo opice. Nasprotno pa je mogoče pri podrejenih živalskih vrstah nakazovanja nečesa višjega razumeti samo, če to višje samo že poznamo."(Marx: Uvod k Očrtom). Da tole misel še malo ilustriram: kaj meniš, kakšen odgovor bi dobili na vprašanje Kaj je matematika in njen predmet proučevanja?, če bi ga postavili Babiloncem, Asircem, Feničanom, Egipčanom, starim Grkom, v srednjem veku, v XVII. stoletju in danes? Ali vidiš, koliko je odgovor zgodovinsko pogojen s splošno družbeno prakso in razvitostjo?
Nizek nivo materialne baze družbe je ustrezal nizki stopnji abstrakcije. Ta dialektična povezava se da precizno spremljati od Babiloncev, Hindujcev v Indiji, Kitajcev do Descartove Geometrije (1637), ki je za geometrijo to, kar je za fiziko Newtonova Principia. Spremljamo lahko vedno večji nivo abstrakcije, od pozicijskega sistema numeracije (arabske številke), vpeljava ničle, do visoke pesmi matematike Arhimeda, Evklida, Pitagore, Platona in drugih.
Vsi veliki umetniki so poznali matematiko (spomni se samo da Vincija!).
Razvijajoča astronomija, ki se je s težavo trgala iz ničvredne astrologije, je slonela na matematiki. Keplerjevo abstrahiranje in matematična formulacija heliocentrične teorije Kopernika so bila zakopana v na videz profanih točnih astronomskih merjenjih gibanja planetov Tycha Braheja. Pri tem se spomni tudi znamenitega padca jabolka Newtonu na glavo in izredno abstraktnega modela splošne gravitacije. Vse to so dokazi za trdno kavzalno zvezo med eksperimentalno-induktivno in matematično-deduktivno metodo.
Danes matematika prodira v skoraj vsa področja znanosti, tudi družbene in biološke.
Toda za nadaljnji razvoj matematike je potrebno ustvarjalno sodelovanje
matematične teorije in družbene praxis. Nova odkritja zahtevajo nova matematična orodja. Odkritje množice elementarnih delcev je bilo verjetno spodbuda za razvoj teorije matrik in množic, za opis sveta strun še nimamo pravega matematičnega instrumentarija; tako vsaj pravijo.
Kaj se zgodi, ko se finance popolnoma odtrgajo od realne ekonomije, smo imeli priložnost videti v zgodovini že večkrat; nazadnje leta 2008 ...
Če bo matematika v celoti izgubila stik z eksperimentalno znanostjo, mi povej, kako bomo lahko ločili dobre aksiomatske konstrukcije in modele, ki adekvatno odsevajo objektivno realnost od slabih? Kako bomo vedeli ali je neka (ne)evklidska geometrija ustrezna teorija realnega prostorčasa? Maxwellove enačbe in njegov matematični model, ki je postuliral EM valovanje, ki se širi s hitrostjo c, je bil dober, saj je H. Hertz kasneje dokazal obstoj teh valov. Teorija množic je pokazala na manjkajoče elementarne delce, ki so bili kasneje res odkriti, itd.
Zaključek:
Prva teza je dokazana.
Druga teza je dokazana.