Živjo
Imam problem, ker ne vem, kako določiti stekališča zaporedja. Pri danem primeru (slika) sem poskusila na n vstaviti nekaj števil (n = 1, 2, 3,...) in se orientirati iz tega, vendar nisem uspela priti do nobene pametne ugotovitve...
Naloga sprašuje tudi, ali je zaporedje konvergentno ali pa omejeno. Kako pa je s tem?
Hvala za pomoč
Zaporedja, stekališča
Zaporedja, stekališča
- Priponke
-
- Capture1.PNG (2.24 KiB) Pogledano 6688 krat
Re: Zaporedja, stekališča
\(\lim_{n \to \infty} b_n=\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} \cdot \lim_{n \to \infty} \cos(\frac{n\pi}{3})\).
Prva limita je 1, druga limita pa ne obstaja: vrednosti se periodično (vsakih \(2\pi\)) izmenjujejo med:
\(\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}\),
\(\cos(\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}\),
\(\cos(\frac{3\pi}{3})=-1\),
\(\cos(\frac{4\pi}{3})=-\frac{1}{2}\),
\(\cos(\frac{5\pi}{3})=\frac{1}{2}\),
\(\cos(\frac{6\pi}{3})=1\).
To so tudi stekališča tega zaporedja: \(\frac{1}{2}\), \(1\), \(-\frac{1}{2}\), \(-1\) (torej štiri različna).
Prva limita je 1, druga limita pa ne obstaja: vrednosti se periodično (vsakih \(2\pi\)) izmenjujejo med:
\(\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}\),
\(\cos(\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}\),
\(\cos(\frac{3\pi}{3})=-1\),
\(\cos(\frac{4\pi}{3})=-\frac{1}{2}\),
\(\cos(\frac{5\pi}{3})=\frac{1}{2}\),
\(\cos(\frac{6\pi}{3})=1\).
To so tudi stekališča tega zaporedja: \(\frac{1}{2}\), \(1\), \(-\frac{1}{2}\), \(-1\) (torej štiri različna).
Re: Zaporedja, stekališča
Aja, tako gre to!! Najlepša hvala!!
Re: Zaporedja, stekališča
Hej, še eno vprašanje
Kako pa pokazti da je to zaporedje padajoče in konvergentno?
Hvala že vnaprej...
Kako pa pokazti da je to zaporedje padajoče in konvergentno?
Hvala že vnaprej...
- Priponke
-
- Capture.PNG (2.14 KiB) Pogledano 6546 krat
Re: Zaporedja, stekališča
Da je padajoče, mora za vsak naravni \(n\) veljati:
\(a_{n+1}<a_n\)
oz.
v konkretnem primeru:
\(\displaystyle\frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}<\frac{(n!)^2}{(2n)!}\).
Ob upoštevanju znanih zvez za fakultete: \((n+1)!=(n+1)n!\) in \((2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!\) zlahka ugotoviš, da neenakost velja za vsak naravni \(n\).
Za konvergenco moraš dokazati, da ima limito (jo pač izračunaš: zlahka ugotoviš, da je 0).
\(a_{n+1}<a_n\)
oz.
v konkretnem primeru:
\(\displaystyle\frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}<\frac{(n!)^2}{(2n)!}\).
Ob upoštevanju znanih zvez za fakultete: \((n+1)!=(n+1)n!\) in \((2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!\) zlahka ugotoviš, da neenakost velja za vsak naravni \(n\).
Za konvergenco moraš dokazati, da ima limito (jo pač izračunaš: zlahka ugotoviš, da je 0).
Re: Zaporedja, stekališča
Dober dan
imam problem pri dokazovanju stekališč.
zaporedje rekurzivno podano a(n+1)=1 - an^2 in začetnim členom a0=1/2. Dokaži da ima 2 stekališči.
Pa še dodan nasvet, ki ga neznam uporabit. ( Zapiši rekurzivno zvezo, ki ji ustrezata podzaporedji lihih in sodih členov.)
jest sem napisal a(2n+1)=1- a(2n)^2
ter a(2n)=1-a(2n-1)^2
sedaj pa neznam teh dveh podzaporedij( če sta sploh pravilni) analizirat in pokazat,da imata vsaka svoje stekališče.
Intuitivno mi je jasno, da ima zaporedje 2 stekališči( mislim da 0 in 1) ampak nevem kako to dokazati.
lp
imam problem pri dokazovanju stekališč.
zaporedje rekurzivno podano a(n+1)=1 - an^2 in začetnim členom a0=1/2. Dokaži da ima 2 stekališči.
Pa še dodan nasvet, ki ga neznam uporabit. ( Zapiši rekurzivno zvezo, ki ji ustrezata podzaporedji lihih in sodih členov.)
jest sem napisal a(2n+1)=1- a(2n)^2
ter a(2n)=1-a(2n-1)^2
sedaj pa neznam teh dveh podzaporedij( če sta sploh pravilni) analizirat in pokazat,da imata vsaka svoje stekališče.
Intuitivno mi je jasno, da ima zaporedje 2 stekališči( mislim da 0 in 1) ampak nevem kako to dokazati.
lp
Re: Zaporedja, stekališča
Rekurzivno zvezo za podzaporedji lihih in sodih členov dobiš, če izraziš \(a_{n+1}\) in \(a_{n-1}\) preko zaporedne rabe rekurzivne formule:
\(a_{n+1}=1-a_n^2=(1-a_n)(1+a_n)\)
\(a_{n}=1-a_{n-1}^2\)
Če zadnjo zvezo upoštevaš v prvi, dobiš:
\(a_{n+1}=a_{n-1}^2(2-a_{n-1}^2)\)
Če je \(n=2k\), gre za podzaporedje lihih členov, če je \(n=2k+1\) gre za podzaporedje sodih členov.
Stekališča poiščeš, če v gornjo rekurzivno zvezo vstaviš \(\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}a_{n-1}=s\). Dobiš enačbo četrte stopnje za \(s\): stekališča so tiste ničle, ki so v intervalu \([0,1]\), znotraj katerega je zaporedje omejeno.
\(a_{n+1}=1-a_n^2=(1-a_n)(1+a_n)\)
\(a_{n}=1-a_{n-1}^2\)
Če zadnjo zvezo upoštevaš v prvi, dobiš:
\(a_{n+1}=a_{n-1}^2(2-a_{n-1}^2)\)
Če je \(n=2k\), gre za podzaporedje lihih členov, če je \(n=2k+1\) gre za podzaporedje sodih členov.
Stekališča poiščeš, če v gornjo rekurzivno zvezo vstaviš \(\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}a_{n-1}=s\). Dobiš enačbo četrte stopnje za \(s\): stekališča so tiste ničle, ki so v intervalu \([0,1]\), znotraj katerega je zaporedje omejeno.